题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图所示，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q。
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：AQ·PQ=OQ·BQ；
（3）设∠AOQ=α，若cosα=，OQ=15，求AB的长。

答案

解：（1）证明：连接OP，与AB交与点C
∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OBP=∠OAP，
∵PA是⊙O的切线，A是切点，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°，即PB是⊙O的切线；

（2）∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°，
∴△QAO∽△QBP，
∴，即AQ·PQ=OQ·BQ；

（3）在Rt△OAQ中，∵OQ=15，cosα=，
∴OA=12，AQ=9，
∴QB=27；
∵，
∴PQ=45，即PA=36，
∴OP=；
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OP⊥AB，AC=BC，
∴PA·OA=OP·AC，即36×12=·AC，
∴AC=，故AB=。