题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且AD⊥BE，垂足为点H。
（1）求证：AB是半圆O的切线；
（2）若AB=3，BC=4，求BE的长。

答案

解：（1）连接EC，
∵BC是直径，
∴E=90°
∵AD⊥BE于H，∴∠AHM=90°
∵∠1=∠2
∴∠3=∠4
∵AD是△ABC的角平分线
∴∠4=∠5=∠3，
又∵E为的中点，
∴∠3=∠7=∠5，
∵AD⊥BE于H，
∴∠5+∠6=90°，即∠6+∠7=90°
又∵BC是直径，
∴AB是半圆O的切线；
（2）∵AB=3，BC=4，
由（1）知，∠ABC=90°，
∴AC=5
在△ABM中，AD⊥BM于H，AD平分∠BAC，
∴AM=AB=3，
∴CM=2
由△CME∽△BCE，得
∴EB=2EC，
BE=。