题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB。
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）已知，BC=1，求⊙O的半径。

答案

解：（1）如图，连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA，
即∠PAO=∠PBO，
又∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠PBO=90°，
∴OB⊥PB，
又∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线；（2）如图，连接OP，交AB于点D，
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∵OA=OB，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
∴OP垂直平分线段AB，
∴∠PAO= ∠PDA=90°，
又∵∠APO=∠DPA，
∴△APO∽△DPA，
∴
∴AP²=PO·DP，
又∵
∴PO（PO-OD）=AP²，
即：，
解得PO=2，（舍去），
在Rt△APO中，，
即⊙O的半径为1。