题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图，⊙O的圆心在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C、D两点，与斜边AB交于点E，连结BO、ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，连结DF。
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，sin∠DFE=，求EF的长。

答案

解：（1）连结OE，
∵ED∥OB，
∴∠1=∠2，∠3=∠OED，
又OE=OD，
∴∠2=∠OED，
∴∠1=∠3，
又OB=OB，OE= OC，
∴△BCO≌△BEO（SAS），
∴∠BEO=∠BCO=90°，
即OE⊥AB，
∴AB是⊙O切线；（2）∵∠F=∠4，CD=2·OC=10，
由于CD为⊙O的直径，
∴在Rt△CDE中有：
ED=CD·sin∠4=CD·sin∠DFE=，
∴，
在Rt△CEG中，
∴EG=，
根据垂径定理得：。