题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图，已知⊙O₁与⊙O₂都过点A，AO₁是⊙O₂的切线，⊙O₁交O₁O₂于点B，连结AB并延长交⊙O₂于点C，连结O₂C。
（1）求证：O₂C⊥O₁O₂；
（2）证明：AB·BC=2O₂B·BO₁；
（3）如果AB·BC=12，O₂C=4，求AO₁的长。

答案

解：（1）∵AO₁是⊙O₂的切线，
∴O₁A⊥AO₂，
∴∠O₂AB+∠BAO₁=90°，
又O₂A=O₂C，O₁A=O₁B，
∴∠O₂CB=∠O₂AB，∠O₂BC=∠ABO₁=∠BAO₁，
∴∠O₂CB+∠O₂BC=∠O₂AB+∠BAO₁=90°，
∴O₂C⊥O₂B，
即O₂C⊥O₁O₂； （2）延长O₂O₁交⊙O₁于点D，连结AD，
∵BD是⊙O₁直径，
∴∠BAD=90°，
又由（1）可知∠BO₂C=90°，
∴∠BAD=∠BO₂C，
又∠ABD=∠O₂BC，
∴△O₂BC∽△ABD，
∴，
∴AB·BC=O₂B·BD，
又BD=2BO₁，
∴AB·BC=2O₂B·BO₁。 （3）由（2）证可知∠D=∠C=∠O₂AB，
即∠D=∠O₂AB，
又∠AO₂B=∠DO₂A，
∴△AO₂B∽△DO₂A，
∴，
∴AO₂²=O₂B·O₂D，
∵O₂C=O₂A，
∴O₂C²=O₂B·O₂D，
①又由（2）AB·BC=O₂B·BD
②由①-②得，O₂C²-AB·BC= O₂B²，即
4²-1^₂=O₂B²，
∴O₂B=2，
又O₂B·BD=AB·BC=12，
∴BD=6，
∴2AO₁=BD=6，
∴AO₁=3。