题目

题型：浙江省期中题难度：来源：

观察思考：某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米


解决问题：
（1）点Q与点O间的最小距离是______分米；点Q与点O间的最大距离是_____分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是_____分米；
（2）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？
（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是_____分米；
②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．

答案

解：
（1）4，5，6；
（2）不对． ∵OP=2，PQ=3，OQ=4，且42≠32+22，即OQ2≠PQ2+OP2， ∴OP与PQ不垂直．∴PQ与⊙O不相切．
（3）①因为PQ的值永远是3，只有PQ⊥l时，点P到直线l的距离最大，此时最大的距离是3分米； ②由①知，在⊙O上存在点P，P"到l的距离为3，此时，OP将不能再向下转动，
如图．OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P"OP．连接P"P，交OH于点D，
∵PQ，P"Q"均与l垂直，且PQ=P"Q"=3，
∴四边形PQQ"P"是矩形，
∴OH⊥PP"，PD=P"D．由OP=2，OD=OH﹣HD=1，得∠DOP=60°．
∴∠POP"=120°．
∴所求最大圆心角的度数为120°．