题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．求证：
（1）四边形FADC是菱形；
（2）FC是⊙O的切线．

答案

证明：
（1）连接OC， ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴，
设OC=x， ∵BE=2，
∴OE=x﹣2，
在Rt△OCE中，OC²=OE²+CE²，
∴x²=（x﹣2）²+（2 ）²，
解得：x=4，
∴OA=OC=4，OE=2，
∴AE=6，
在Rt△AED中，，
∴AD=CD，
∵AF是⊙O切线，
∴AF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AF∥CD，
∵CF∥AD，
∴四边形FADC是平行四边形，
∴?FADC是菱形；
（2）连接OF， ∵四边形FADC是菱形，
∴FA=FC，
在△AFO和△CFO中，  
，
∴△AFO≌△CFO（SSS），
∴∠FCO=∠FAO=90°，即OC⊥FC，
∵点C在⊙O上，
∴FC是⊙O的切线．