题目

题型：不详难度：来源：

已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．
（1）线段MN与BD是否垂直？请说明理由；
（2）若∠BAC=30°，∠CAD=45°，AC=4，求MN的长．

答案

（1）线段MN与BD垂直．
连接MB与MD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，可以知道
MB=

AC

2

，MD=

AC

2

，所以MB=MD．
三角形MBD中，N是底边上的中点，等腰三角形的性质可以说明：
MN垂直BD．

（2）如图一：连接BM、MD，延长DM，过B作DM延长线的垂线段BE，
∵M是AC的中点，
∴MD⊥AC，△BCM是等边三角形，
∴在Rt△BEM中，∠EMB=30°，
∵AC=4，∴BM=2，
∴BE=1，EM=

3

，MD=2，
从而可知
BD=

1+(2+ 3 )2

=2

2+ 3

∴BN=

2+ 3

．
由Rt△BMN可得：
MN=

22-( 2+ 3 )2

=

2- 3

．
如图二：连接BM、MD，延长AD，过B作垂线段BE，
∵M、N分别是AC，BD中点，
∴MD=

1

2

AC，MB

1

2

AC，
∴MD=MB，
∵∠BAC=30°，∠CAD=45°，
∴∠BMC=60°，∠DMC=90°，
∴∠BMD=30°，
∴∠BDM=

180-30

2

=75°，
∵∠MDA=45°
∴∠EDB=180°-∠BDM-∠MDA=60°，
令ED=x，则BE=

3

x，AD=2

2

，AB=2

3

，
∴由Rt△ABE可得：（2

3

）²=（

3

x）²+（x+2

2

）²，
解得x=

2- 3

，则BD=2

2- 3

，
∵M、N分别是AC，BD中点，
∴MD=2 DN=

2- 3

．
由Rt△MND可得：
MN=

22-( 2- 3 )2

=

2+ 3

．