⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，BC交于K，N（K与N不同）．△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M．求证：∠BMO=90°．（第26届IMO第五题） - 初中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，BC交于K，N（K与N不同）．△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M．求证：∠BMO=90°．（第26届IMO第五题）

答案

证明：连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G，
∵△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M，
∴∠GMC=∠BAC=∠BNK=∠BMK，
而∠COK=2•∠BAC=∠GMC+∠BMK=180°-∠CMK，
∴∠COK+∠CMK=180°，
∴C，O，K，M四点共圆，
在这个圆中，由OC=OK得

，
∴∠OMC=∠OMK，但∠GMC=∠BMK，
∴∠BMO=90°．

核心考点

试题【⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，BC交于K，N（K与N不同）．△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M．求证：∠BMO=90°．（第26届IMO第五题）】；主要考察你对点与圆位置关系等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=6，AB=10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是（　　）

A．点P在⊙O内

B．点P在⊙O上

C．点P在⊙O外

D．无法确定

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圆心在原点O，半径为5的⊙O，则点P（-3，4）在⊙O______．

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（原创题）如图所示，平面直角坐标系中，点A（2，9），B（2，3），C（3，2），D（9，2）在⊙P上，Q是⊙P上的一个动点．
（1）在图中标出圆心P位置，写出点P坐标；
（2）Q点在圆上坐标为何值时，△ABQ是直角三角形．

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