题目

题型：北京期末题难度：来源：

△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F。
（1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论；
（2）如图2，若连接EF，试探索线段BE、EF、FC之间的数量关系，直接写出你的结论（不需证明）；
（3）如图3，若将“AB=AC，点D是BC的中点”改为：“∠B=30°，AD⊥BC于点D”，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值。

答案

解：（1）（1）结论：AF=BE，
证明：连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD=BD=DC=BC，∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B=∠C=∠1=∠2=45°，
∴∠3+∠5=90°，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠5=∠4，
∵BD=AD，
∴△BDE≌△ADF，
∴BE=AF；（2）；（3）（1）中的结论BE=AF不成立，
∵∠B=30°，AD⊥BC于点D，∠BAC=90°，
∴∠3+∠5=90°，∠B+∠1=90°，
∵∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠B=∠2，∠5=∠4，
∴△BDE∽△ADF，
∴。