题目

题型：广东省中考真题难度：来源：

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=1，BC=2，将点A折叠到CD边上，记折叠后A点对应的点为P（P与D点不重合），折痕EF只与边AD、BC相交，交点分别为E、F，过点P作PN∥BC交AB于N、交EF于M，连结PA、PE、AM，EF与PA相交于O。
（1）指出四边形PEAM的形状（不需证明）；
（2）记∠EPM=α，△AOM、△AMN的面积分别为S₁、S₂。
① 求证：PA²；
② 设AN=x，y=，试求出以x为自变量的函数y的解析式，并确定y的取值范围。

答案

解：（1）四边形AMPE为菱形；（2）①∵四边形AMPE为平行四边形，∠EPM=a
∴∠MAP=α，S₁=OA·OM，
∵在Rt△OM中，，
∴OM=OA·
=OA·OM×；
②过D作DH垂直于BC于H，交NP于点K，
则：DK⊥PN，BH=AB=AD=DH=1，DK=AN=x，
∵CH=BC-BH=2-1=1，
∴CH=DH，
∴∠NPD=∠BCD=45°，
∴PK=DK=x，
∴PN=1+x，
在Rt△ANP中，
AP²=AN²+PN²=x²+（1+x）²=2x²+2x+1，
过E作PM的垂线EG（垂足为G），令△EGM的面积为S，
∵△EGM∽△AOM，
∴，
则S=S₁，
∵四边形ANGE的面积等于菱形AMPE的面积，
∴2S₁=S₂+S，
∴S₁-S₂=S-S₁=S₁-S₁=（-1）S₁，
∴y=
=
∴y=。