题目
题型:湖南省中考真题难度:来源:
(2)连结AC,若PQ∥AC,求线段BQ的长(用含m的代数式表示)
(3)若△PQD为等腰三角形,求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式,并写出m的取值范围。
答案
∵PQ⊥PD,
∴∠DPC=90°,
∴∠APD+∠BPC=90°,
又∠ADP+∠APD=90°,
∴∠BPC=∠ADP,
又∠B=∠A=90°,
∴△PBC∽△DAP,
∴,
∴,
∴AP=2或8,
∴存在点P使得点Q与点C重合,出此时AP的长2或8;
∴∠BPQ=∠BAC,
∵∠BPQ=∠ADP,
∴∠BAC=∠ADP,
又∠B=∠DAP=90°,
∴△ABC∽△DAP,
∴,即,
∴AP=,
∵PQ∥AC,
∴∠BPQ=∠BAC,
∵∠B=∠B,
∴△PBQ∽△ABC,,即,
∴;
∴∠BPQ=∠ADP,又∠B=∠A=90°,
∴△PBQ≌△DAP,
∴PB=DA=4,AP=BQ=m-4,
∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为:
S四边形PQCD=S矩形ABCD-S△DAP-S△QBP
=DA×AB-×DA×AP-×PB×PQ
=4m-×4×(m-4)-×4×(m-4)
=16(4<m≤8)。
核心考点
试题【如图,在矩形ABCD中,AD=4,AB=m(m>4),点P是AB边上的任意一点(不与A、B重合),连结PD,过点P作PQ⊥PD,交直线BC于点Q(1)当m=10】;主要考察你对相似三角形性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)直接写出点A,B的坐标,并求直线AB与CD交点的坐标;
(2)动点P从点C出发,沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动;同时,动点M从点A出发,沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动,过点P作PH⊥OA,垂足为H,连接MP,MH,设点P的运动时间为t秒。
①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1,求t的值;
②点Q是点B关于点A的对称点,问BP+PH+HQ是否有最小值,如果有,求出相应的点P的坐标;如果没有,请说明理由。
(1)求证:OP=OQ;
(2)若AD=8厘米,AB=6厘米,P从点A出发,以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合),设点P运动时间为t秒,请用t表示PD的长;并求t为何值时,四边形PBQD是菱形。
在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设锐角∠DOC=α,将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′(0°<旋转角<90°)连接AC′、BD′,AC′与BD′相交于点M。
(1)当四边形ABCD是矩形时,如图1,请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系,并证明你的猜想;
(2)当四边形ABCD是平行四边形时,如图2,已知AC=BD,请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系,并证明你的猜想;
(3)当四边形ABCD是等腰梯形时,如图3,AD∥BC,此时(1)AC′与BD′的数量关系是否成立?∠AMB与α的大小关系是否成立?不必证明,直接写出结论。
(1)当四边形ABCD是矩形时,如图1,请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系,并证明你的猜想;
(2)当四边形ABCD是平行四边形时,如图2,已知AC=BD,请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系,并证明你的猜想;
(3)当四边形ABCD是等腰梯形时,如图3,AD∥BC,此时(1)AC′与BD′的数量关系是否成立?∠AMB与α的大小关系是否成立?不必证明,直接写出结论。
(1)设点P的纵坐标为p,写出p随变化的函数关系式。
(2)设⊙C与PA交于点M,与AB交于点N,则不论动点P处于直线l上(除点B以外)的什么位置时,都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明;
(3)是否存在使△AMN的面积等于的k值?若存在,请求出符合的k值;若不存在,请说明理由。
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