题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F。
（1）证明：△ACE∽△FBE；
（2）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由。

答案

解：（1）∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，
∴∠CAC′=∠BAB′
∴∠ACC′=∠ABB′
又∠AEC=∠FEB
∴△ACE∽△FBE；
（2）当β=2α时，△ACE≌△FBE，
在△ACC′中，
∵AC=AC′，
∴，
在Rt△ABC中，∠ACC′+∠BCE=90°，
即，
∴∠BCE=α，
∵∠ABC=α，
∴∠ABC=∠BCE，
∴CE=BE
由（1）知：△ACE∽△FBE，
∴△ACE≌△FBE。