题目

题型：不详难度：来源：

阅读理解：如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90⁰，点P在BC边上，当
∠APD=90⁰时，易证∽，从而得到，解答下列问题.
（1）模型探究1：如图2，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时， 结论仍成立吗? 试说明理由;
(2)拓展应用：如图3，M为AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝45°且DM交AC于F，ME交BC于G．AB＝，AF＝3，求FG的长．

答案

解：（1）∠APC=∠ABP+∠BAP可得：∠BAP=∠CPD 从而说明 △ABP∽△PCD
可得： 
（2）∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B
∴△AMF∽△BGM．
当∠A＝∠B＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC
∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝,  
又∵AMF∽△BGM，∴
∴ 
又∵，
∴ 

解析

（1）本题要通过证△ABP和△PCD相似来解．已知∠B=∠APD=∠C，那么可得出它们的补角都相等，进而可求出∠BAP=∠DPC，∠BPA=∠PDC．由此可证得两三角形相似，即可得出所求的结论．
（2）由∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B可得△AMF∽△BGM，再利用直角三角形ABC可得到AM、BM、AC、BC的长，在△AMF∽△BGM中利用对应边成比例可得BG的长，在直角三角形CFG中利用勾股定理即可求得FG的长。