如图，BD是⊙O的直径， A、C是⊙O上的两点，且AB=AC，AD与BC的延长线交于点E.（1）求证：△ABD∽△AEB；（2）若AD=1，DE=3，求BD的长 - 初中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

如图，BD是⊙O的直径， A、C是⊙O上的两点，且AB=AC，AD与BC的延长线交于点E.
（1）求证：△ABD∽△AEB；
（2）若AD=1，DE=3，求BD的长.

答案

（1）证明：∵AB=AC，
∴.

∴∠ABC=∠ADB.
又∠BAE=∠DAB，
∴ △ABD∽△AEB.
（2）解：∵△ABD∽△AEB，
∴

.
∵ AD=1， DE=3，
∴AE=4.
∴ AB²=AD·AE=1×4=4.
∴ AB="2."
∵ BD是⊙O的直径，
∴∠DAB=90°.
在Rt△ABD中，BD²=AB²＋AD²=2²＋1²=5，
∴BD=

解析

（1）结合已知条件就可以推出∠ABC=∠ADB，再加上公共角就可以推出结论；
（2）由（1）的结论就可以推出AB的长度，规矩勾股定理即可推出BD的长度．

核心考点

试题【如图，BD是⊙O的直径， A、C是⊙O上的两点，且AB=AC，AD与BC的延长线交于点E.（1）求证：△ABD∽△AEB；（2）若AD=1，DE=3，求BD的长】；主要考察你对相似图形等知识点的理解。[详细]

举一反三

图是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．
（1）证明：△ABE≌△CBD；
（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；
（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论；
（4）求线段BD的长．