题目
题型:不详难度:来源:
问题探究:如图3,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q,试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论.,
拓展延伸:如图4,△ABC中,AG⊥BC于点G,分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交EF于点H,若AB=kAE,AC=kAF,试探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由。
答案
解析
试题分析:①观察图形即可发现DA′=BC,A′C=AC,DC′=BA,所以△ABC≌△AC′D,即BC=DA、∠CAC′=90°可解题;
②由全等三角形△APE≌△BGA的对应边相等知,EP=AG;同理由全等三角形△FQA≌△AGC的对应边相等知FQ=AG,所以易证EP=FQ;
③过点E作EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为P、Q.根据全等三角形的判定和性质即可解题.
试题解析:①观察图形即可发现△ABC≌△AC′D,即BC=AD,∠C′AD=∠ACB,
∴∠CAC′=180°-∠C′AD-∠CAB=90°;
②∵∠FAQ+∠CAG=90°,∠FAQ+∠AFQ=90°,
∴∠AFQ=∠CAG,同理∠ACG=∠FAQ,
又∵AF=AC,
∴△AFQ≌△CAG,
∴FQ=AG,
同理EP=AG,
∴FQ=EP.
③HE=HF.
理由:过点E作EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为P、Q.
∵四边形ABME是矩形,
∴∠BAE=90°,
∴∠BAG+∠EAP=90°,
又AG⊥BC,
∴∠BAG+∠ABG=90°,
∴∠ABG=∠EAP.
∵∠AGB=∠EPA=90°,
∴△ABG∽△EAP,
∴AG:EP=AB:EA.
同理△ACG∽△FAQ,
∴AG:FQ=AC:FA.
∵AB=k•AE,AC=k•AF,
∴AB:EA=AC:FA=k,
∴AG:EP=AG:FQ.
∴EP=FQ.
∵∠EHP=∠FHQ,
∴Rt△EPH≌Rt△FQH.
∴HE=HF.
考点:(1)三角形全等的判定与性质;(2)相似三角形的判定与性质.
核心考点
试题【将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A′C′D,如图1所示,将△A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、A(A′)、B】;主要考察你对相似图形等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. |
C. | D. |
A.3:2 | B.9:4 | C.4:3 | D.16:9 |
(1)当FG长为多少米时,种草的面积与种花的面积相等?
(2)当矩形EFGH的边FG为多少米时,△ABC空地改造总投资最小,最小值为多少?
A.45°B.50°C.55°D.60°
A.3 B.4 C.5 D.6
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