题目
题型:不详难度:来源:
如图,四边形ABCD是正方形,点P是BC上任意一点,DE⊥AP于点E,BF⊥AP于点F,CH⊥DE于点H,BF的延长线交CH于点G.
(1)求证:AF-BF=EF;
(2)四边形EFGH是什么四边形?并证明;
(3)若AB=2,BP=1,求四边形EFGH的面积.
(1)求证:AF-BF=EF;
(2)四边形EFGH是什么四边形?并证明;
(3)若AB=2,BP=1,求四边形EFGH的面积.
答案
(1)证明:∵DE⊥AP于点E,BF⊥AP于点F,CH⊥DE于点H,
∴∠AFB=∠AED=∠DHC=90°,
∴∠ADE+∠DAE=90°,
又∵∠DAE+∠BAF=90°,
∴∠ADE=∠BAF,
在△AED和△BFA中,
,
∴△AED≌△BFA,
∴AE=BF,
∴AF-AE=EF,即AF-BF=EF;
(2)证明:
∵∠AFB=∠AED=∠DHC=90°,
∴四边形EFGH是矩形,
∵△AED≌△BFA,同理可得:△AED≌△DHC,
∴△AED≌△BFA≌△DHC,
∴DH=AE=BF,AF=DE=CH,
∴DE-DH=AF-AE,
∴EF=EH,
∴矩形EFGH是正方形;
(3)∵AB=2,BP=1,
∴AP=
,
∵S△ABP=
×BF×AP=
×BF×
=1×2×
,
∴BF=
,
∵∠BAF=∠PAB,∠AFB=∠ABP=90°,
∴△ABF∽△APB,
∴
=
=
,
∴AF=
,
∴EF=AF-AE=
-
=
,
∴四边形EFGH的面积为:(
)2=
.
∴∠AFB=∠AED=∠DHC=90°,
∴∠ADE+∠DAE=90°,
又∵∠DAE+∠BAF=90°,
∴∠ADE=∠BAF,
在△AED和△BFA中,
|
∴△AED≌△BFA,
∴AE=BF,
∴AF-AE=EF,即AF-BF=EF;
(2)证明:
∵∠AFB=∠AED=∠DHC=90°,
∴四边形EFGH是矩形,
∵△AED≌△BFA,同理可得:△AED≌△DHC,
∴△AED≌△BFA≌△DHC,
∴DH=AE=BF,AF=DE=CH,
∴DE-DH=AF-AE,
∴EF=EH,
∴矩形EFGH是正方形;
(3)∵AB=2,BP=1,
∴AP=
5 |
∵S△ABP=
1 |
2 |
1 |
2 |
5 |
1 |
2 |
∴BF=
2
| ||
5 |
∵∠BAF=∠PAB,∠AFB=∠ABP=90°,
∴△ABF∽△APB,
∴
BF |
AF |
BP |
AB |
1 |
2 |
∴AF=
4
| ||
5 |
∴EF=AF-AE=
4
| ||
5 |
2
| ||
5 |
2
| ||
5 |
∴四边形EFGH的面积为:(
2
| ||
5 |
4 |
5 |
核心考点
试题【如图,四边形ABCD是正方形,点P是BC上任意一点,DE⊥AP于点E,BF⊥AP于点F,CH⊥DE于点H,BF的延长线交CH于点G.(1)求证:AF-BF=EF】;主要考察你对正方形等知识点的理解。[详细]
举一反三
正方形的边长为a,则它的对角线的交点到边的距离为( )
A.
| B.
| C.
| D.
|
如图①,四边形ABCD是正方形,点G是BC上任意一点,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F.
(1)求证:DE-BF=EF;
(2)当点G为BC边中点时,试探究线段EF与GF之间的数量关系,并说明理由;
(3)若点G为CB延长线上一点,其余条件不变.请你在图②中画出图形,写出此时DE、BF、EF之间的数量关系(不需要证明).
(1)求证:DE-BF=EF;
(2)当点G为BC边中点时,试探究线段EF与GF之间的数量关系,并说明理由;
(3)若点G为CB延长线上一点,其余条件不变.请你在图②中画出图形,写出此时DE、BF、EF之间的数量关系(不需要证明).
如图,已知正方形ABCD的边长为m,△BPC是等边三角形,则△CDP的面积为______(用含m的代数式表示).
如图①,正方形ABCD中,∠FOE=90°,顶点O与D点重合,交直线BC于E,交直线BA于F.
(1)求证:OF=OE;
(2)如图②,若O点在射线BD上运动,其它条件不变,上述结论是否仍然成立?画出图形,直接写出结论;
(3)如图③,O为正方形ABCD对角线的中点,∠FOE=90°且绕点O旋转,交BC、CD边于F、E点.(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.
(1)求证:OF=OE;
(2)如图②,若O点在射线BD上运动,其它条件不变,上述结论是否仍然成立?画出图形,直接写出结论;
(3)如图③,O为正方形ABCD对角线的中点,∠FOE=90°且绕点O旋转,交BC、CD边于F、E点.(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.
四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AD∥BC,AD=BC,为使四边形ABCD为正方形,还需要满足下列条件中:①AC=BD;②AB=AD;③AB=CD;④AC⊥BD中的哪两个______(填代号).
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