题目

题型：不详难度：来源：

某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD（DC＜BC）的对角线交点O旋转（如图①→②），图中M、N分别为直角三角板的直角边与三角形DBC的边CD、BC的交点．
（1）在图①（三角板的一直角边与OD重合）中，有CN²+DC²=BN²成立，请说明理由．
（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，请你用一个等式在横线上直接表示出探究的结论：______．证明你的结论．

答案

（1）选择图①证明：连接DN．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BO=DO，∠DCN=90°，
∵ON⊥BD，∴NB=ND，
∵∠DCN=90°，
∴ND²=NC²+CD²，
∴BN²=NC²+CD²．

（2）CM²+CN²=DM²+BN²．
证明：理由如下：
延长MO交AB于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BO=DO，∠ABC=∠DCB=90°，
∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，∠BEO=∠DMO，
∴△BEO≌△DMO，
∴OE=OM，BE=DM，
∵NO⊥EM，
∴NE=NM，
∵∠ABC=∠DCB=90°，
∴NE²=BE²+BN²，NM²=CN²+CM²，
∴CN²+CM²=BE²+BN²，
即CN²+CM²=DM²+BN²．
故答案为：CN²+CM²=DM²+BN²．