题目

题型：北京模拟题难度：来源：

在△ABC中，点P为BC的中点。
（1）如图（1），求证：AP<（AB+AC）；
（2）延长AB至D，使得BD=AC，延长AC至E，使得CE=AB，连接DE
①如图（2），连接BE，若∠BAC=60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系，写出你的结论，并加以证明；
②请在图（3）中证明：BC≥DE。

答案

解：（1）证明：延长AP至H，使得PH=AP，连接BH、HC
∵BP=PC
∴四边形ABHC是平行四边形，
∴AB=HC
在△ACH中，AH<HC+AC
∴2AP<AB+AC，即AP<（AB+AC）；（2）①解：BE=2AP
证明：过B作BH∥AE交DE于H，连接CH、AH
∴∠1=∠BAC=60°
∵DB=AC，AB=CE，
∴AD=AE
∴△AED是等边三角形，
∴∠D=∠1=∠2=60°
∴△BDH是等边三角形
∴BD=DH=BH=AC
∴四边形ABHC是平行四边形
∵点P是BC的中点，
∴AH、BC互相平分于点P，即AH=2AP，
在△ADH和△EDB中

∴△ADH≌△EDB
∴AH=BE=2AP；②证明：分两种情况：
i．当AB=AC时，
∴AB=AC=DB=CE
∴BC=DE；II．当AB≠AC时，以BD、BC为一组邻边作平行四边形BDGC（如图），
∴DB=GC=AC，∠BAC=∠1，BC=DC
∵AB=CE
∴△ABC≌△CEC
∴BC=EC=DG
在△DGE中，DG+GE>DE
∴2BC>DE，即BC>DE，综上所述，BC≥DE。