题目

题型：不详难度：来源：

如图，在直角坐标系中，点的坐标为，点在直线上运动，点、、分别为、、的中点，其中是大于零的常数.
（1）请判断四边形的形状，并证明你的结论；
（2）试求四边形的面积与的关系式；
（3）设直线与轴交于点，问：四边形能不能是矩形？若能，求出的值；若不能，说明理由.

答案

解：（1）四边形是平行四边形.  
证明：∵、分别是、的中点
∴∥                        
同理，∥
∴四边形是平行四边形   
（2）解法一：    
由（1）得：∥ 
∴∽
∴  ∴
同理     
∴， 即 
解法二：连结，
=  
∵、分别是、的中点
∴        
同理                  
∴， 即
（3）解法一：以为圆心，长为直径的圆记为⊙，
① 当直线与⊙相切或相交时，若点是交点或切点，则，
由（1）知，四边形是矩形.           
此时0＜，＞0，可得∽
故 即  
在中， ∴ ∴，
解得     
② 当直线与⊙相离时，，
∴四边形不是矩形，此时＞4，
∴当＞4时，四边形不是矩形
综上所述：当0＜，四边形是矩形，这时；当＞4时，四边形不是矩形.
解法二：由（1）知：当时，四边形是矩形，
此时∽.
∴， 即       
又， ，
∴        
∴
① 当时，解得，这时四边形是矩形.
② 当时，不存在，这时四边形不是矩形. 
解法三：如图，过点作于点,

在中，
在中，
在中，当时，，
则四边形是矩形.
所以
化简得：
配方得： 

解析

（1）四边形DEFB是平行四边形．利用DE、EF为△OAB的中位线证明平行四边形；
（2）根据DE、EF为△OAB的中位线可知，S△AEF=S△ODE=1/4S△AOB，利用S=S△AOB-S△AEF-S△ODE求S与b的关系式；
（3）当∠ABO=90°时，四边形DEFB是矩形，由Rt△OCB∽Rt△ABO，根据相似比得OB²=OA•BC，由勾股定理得OB²=BC²+OC²，利用b、t分别表示线段的长，列方程求解．