题目
题型:不详难度:来源:
(1)求A、D两点的坐标;
(2)求经过A、D、C三点的抛物线的函数关系式;
(3)在y轴上是否在点P,使△ACP是等腰三角形?若存在,请求出满足条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(2)y=x2﹣2x+3。
(3)存在。满足条件的点P有5个,分别为:P1(0,2),P2(0,),P3(0,),P4(0,),P5(0,)。
解析
试题分析:(1)利用待定系数法求出直线EC的解析式,确定点A的坐标;然后利用等腰梯形的性质,确定点D的坐标。
(2)利用待定系数法求出抛物线的解析式。
(3)满足条件的点P存在,且有多个,需要分类讨论:
①作线段AC的垂直平分线,与y轴的交点,即为所求;
②以点A为圆心,线段AC长为半径画弧,与y轴的两个交点,即为所求;
③以点C为圆心,线段CA长为半径画弧,与y轴的两个交点,即为所求。
解:(1)设直线EC的解析式为y=kx+b,
根据题意得:,解得。
∴y=x+1,
当y=0时,x=﹣1,∴点A的坐标为(﹣1,0)。
∵四边形ABCD是等腰梯形,C(2,3),∴点D的坐标为(0,3)。
(2)设过A(﹣1,0)、D(0,3)、C(2,3)三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,则有:
,解得。
∴抛物线的关系式为:y=x2﹣2x+3。
(3)存在。
①作线段AC的垂直平分线,交y轴于点P1,交AC于点F,
∵OA=OE,
∴△OAE为等腰直角三角形,∠AEO=45°。
∴∠FEP1=∠AEO=45°。
∴△FEP1为等腰直角三角形。
∵A(﹣1,0),C(2,3),点F为AC中点,
∴F()。
∴等腰直角三角形△FEP1斜边上的高为。
∴EP1=1。∴P1(0,2)。
②以点A为圆心,线段AC长为半径画弧,交y轴于点P2,P3.
可求得圆的半径长AP2=AC=3,
连接AP2,则在Rt△AOP2中,,
∴P2(0).
∵点P3与点P2关于x轴对称,∴P3(0,).
③以点C为圆心,线段CA长为半径画弧,交y轴于点P4,P5,
则圆的半径长CP4=CA=3,
在Rt△CDP4中,CP4=3,CD=2,
∴。
∴OP4=OD+DP4=。∴P4(0,).
同理,可求得:P5(0,)。
综上所述,满足条件的点P有5个,分别为:P1(0,2),P2(0,),P3(0,),P4(0,),P5(0,)。
核心考点
试题【如图,四边形ABCD是等腰梯形,下底AB在x轴上,点D在y轴上,直线AC与y轴交于点E(0,1),点C的坐标为(2,3).(1)求A、D两点的坐标;(2)求经过】;主要考察你对平行四边形性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
性质:如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等.
理解:如图①,在△ABC中,CD是AB边上的中线,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD.
应用:如图②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=BF,AF与BE交于点O.
(1)求证:△AOB和△AOE是“友好三角形”;
(2)连接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四边形CDOF的面积.
探究:在△ABC中,∠A=30°,AB=4,点D在线段AB上,连接CD,△ACD和△BCD是“友好三角形”,将△ACD沿CD所在直线翻折,得到△A′CD,若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的,请直接写出△ABC的面积.
求证:OE=BC.
应用:如图②,在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,AE⊥BC于点E.若AE=19,BC=10,CD=6,则四边形ABCD的面积为 .
A.4 | B.3 | C.2 | D.1 |
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