题目

题型：不详难度：来源：

小明遇到这样一个问题：“如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．”
分析时，小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于 点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个正方形（无缝隙不重叠），则这个正方形的边长为_______
（2）求正方形MNPQ的面积．
（3）参考小明思 考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=，则AD的长为_______．

答案

(1) a；（2）2；(3) .

解析

试题分析：(1)四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形的面积为a²；
（2）如图2所示，正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积；
（3）参照小明的钥匙思路，对问题作同样的等积变形，即可求解问题.
(1) a
(2)∵四个等腰直角三角形△RQF，△SMG，△TNH，△WPE的面积和为a²，正方形ABCD的面积为a²，
∴S_{正方形MNPQ}=S_△ARE+S_△DWH+S_△GCT+S_△SBF=4S_△ARE=4××1²=2；
(3) 
如答图1所示，分别延长RD，QF，PE，
交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．

由题意易得：△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．
所以△RSF，△QET，△PDW的面积等于△ABC的面积。
由此可得：S_△RPQ=S_△ADS+S_△CFT+S_△BEW=3S_△ADS，
过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x，
则AN=AD•sin30°=x，SD=2ND=2ADcos30°=x，
∴S_△ADS=SD•AN=•x•x=x²．
∴S_△RPQ=S_△ADS+S_△CFT+S_△BEW=3S_△ADS，
∴=3×x²，得x²=，
解得x=或x=−（不合题意，舍去）
∴x=，即AD的长为。
考点: 四边形综合题.