题目
题型:不详难度:来源:
(1)如图1,E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是______形,正方形ABCD的面积记为S1,EFGH的面积为S2,则S1和S2间的数量关系:______;
(2)如图2,E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是______形,菱形ABCD的面积为S1,EFGH的面积为S2,则S1和S2间的数量关系:______;
(3)如图3,梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,垂足为O,E、F、G、H分别为各边的中点.四边形EFGH是______形;若梯形ABCD的面积记为S1,四边形EFGH的面积记为S2,由图可猜想S1和S2间的数量关系为:______;
(4)如图4,E、G分别是平行四边形ABCD的边AB、DC的中点,H、F分别是边形AD、BC上的点,且四边形EFGH为平行四边形,若把平行四边形ABCD的面积记为S1,把平行四边形形EFGH的面积记为S2,试猜想S1和S2间的数量关系,并加以证明.
答案
∵E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点,
∴EH∥BD∥FG,EF∥AC∥HG,EH=FG=
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∴四边形EFGH为平行四边形,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC=BD,AC⊥BD,
∴EF=FG,EF⊥FG,
∴▱EFGH是正方形;
∵正方形ABCD∽正方形EFGH,
∴S1:S2=(AB:EF)2=(2BE:
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2 |
∴S1=2S2;
(2)如图2.连接AC、BD.
∵E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点,
∴EH∥BD∥FG,EF∥AC∥HG,EH=FG=
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∴四边形EFGH为平行四边形,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴EF⊥FG,
∴▱EFGH是矩形;
在△ABD中,∵EH∥BD,
∴△AEH∽△ABD,
∵EH=
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∴S△AEH:S△ABD=(EH:BD)2=
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同理可证:S△CFG=
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∴S△AEH+S△CFG=
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同理可得S△BEF+S△DHG=
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∴S△AEH+S△CFG+S△BEF+S△DHG=
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∴S矩形EFGH=S菱形ABCD-(S△AEH+S△CFG+S△BEF+S△DHG)=
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∴S1=2S2;
(3)如题目图3.∵E、F、G、H分别是梯形ABCD各边的中点,
∴EH∥BD∥FG,EF∥AC∥HG,EH=FG=
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∴四边形EFGH为平行四边形,
∵AC⊥BD,
∴EF⊥FG,
∴▱EFGH是矩形;
在△ABD中,∵EH∥BD,
∴△AEH∽△ABD,
∵EH=
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∴S△AEH:S△ABD=(EH:BD)2=
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同理可证:S△CFG=
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∴S△AEH+S△CFG=
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同理可得S△BEF+S△DHG=
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∴S△AEH+S△CFG+S△BEF+S△DHG=
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∴S矩形EFGH=S梯形ABCD-(S△AEH+S△CFG+S△BEF+S△DHG)=
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∴S1=2S2;
(4)S1=2S2.理由如下:
如图4.过点H作HM⊥AB于M,延长MH交CD于N.
∵AB∥CD,HM⊥AB,
∴HM⊥CD,即MN⊥CD,则MN为平行四边形ABCD的边AB、DC上的高.
∵E、G分别是平行四边形ABCD的边AB、DC的中点,
∴AE=BE=CG=GD=
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∵S△AEH=
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∴S△AEH+S△DHG=
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同理可得S△BEF+S△CFG=
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∴S△AEH+S△CFG+S△BEF+S△DHG=
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∴S▱EFGH=S▱ABCD-(S△AEH+S△CFG+S△BEF+S△DHG)=
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∴S1=2S2.
核心考点
试题【课题学习:(1)如图1,E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是______形,正方形ABCD的面积记为S1,EFGH的面积为S2,则S】;主要考察你对平行四边形性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.S1>S2 | B.S1<S2 | C.S1=S2 | D.2S1=S2 |
A.2 | B.4 | C.6 | D.8 |
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