题目

题型：江苏省期末题难度：来源：

（1）如图（1），正方形ABCD中，E为边CD上一点，连结AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于F，猜想AE与AF的数量关系，并说明理由；
（2）如图（2），在（1）的条件下，连结AC，过点A作AM⊥AC交CB的延长线于M，观察并猜想CE与MF的数量关系（不必说明理由）；
（3）解决问题：
①王师傅有一块如图所示的板材余料，其中∠A=∠C=90°，AB=AD。王师傅想切一刀后把它拼成正方形。请你帮王师傅在图（3）中画出剪拼的示意图；
②王师傅现有两块同样大小的该余料，能否在每块上各切一刀，然后拼成一个大的正方形呢？若能，请你画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由。

答案

解：（1）AE=AF；
理由：∵∠BAF+∠BAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠BAF=∠DAE，
∵AB=AD，∠ADE=∠ABF，
∴△ABF≌△ADE（ASA），
∴AE=AF。
（2）CE=MF；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AMF=∠ACB=45°，AM=AC，
∵△ABF≌△ADE，
∴∠FAB+∠ABF=∠DAE+∠AED，即∠AFB=∠AEC，
∴∠MAF=∠EAC，
∴△AMF≌△ACE，
∴CE=MF。
（3）①如图所示，把△ABE切下，拼到△ADF的位置，

∵AB=AD，∠BAE+∠DAE=∠DAF+∠DAE，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠AEB=∠AFD=90°，
∴∠ABE=∠ADF，
∴△ABE≌△ADF，
∵AE=AD=CE，∠AEC=∠ECF=∠AFC=90°，
∴四边形AECF是正方形。
②如下图所示：
，
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