题目

题型：江苏期中题难度：来源：

阅读与证明：    
如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，且∠EAF＝45 °，
求证：BF＋DE＝EF。
分析：证明一条线段等于另两条线段的和，常用“截长法”或“补短法”，将线段BF、DE放在同一直线上，构造出一条与BF＋DE相等的线段。如图1延长ED至点F"，使DF"＝BF，连接A F"，易证△ABF≌△ADF"，进一步证明△AEF≌△AEF"，即可得结论。
（1）请你将下面的证明过程补充完整。
证明：延长ED至F"，使DF"＝BF，
∵ 四边形ABCD是正方形
∴ AB＝AD，∠ABF＝∠ADF"＝90°，
∴ △ABF≌△ADF"（SAS）
应用与拓展：如图建立平面直角坐标系，使顶点A与坐标原点O重合，边OB、OD分别在x轴、y轴的正半轴上。
（2）设正方形边长OB为30，当E为CD中点时，试问F为BC的几等分点？并求此时F点的坐标；
（3）设正方形边长OB为30，当EF最短时，直接写出直线EF的解析式：                 。

答案

解：（1）证明：∴AF＝AF"，∠BAF＝∠DAF"
∵∠F"AE＝∠F"AD＋∠DAE＝∠BAF＋∠DAE＝∠DAB-∠EAF＝45°，
又∵∠EAF＝45°，
∴ ∠F?AE＝∠EAF
∴△AEF≌△AEF"    
∴EF＝EF"＝ED＋DF"＝ED＋BF   ；
（2）设BF＝a，
则CF＝30-a，EF＝15＋a
在Rt△CEF中
EC²＋CF²＝EF²
∴15²＋(30-a)²＝(15＋a)²
∴a＝10                
∴F为BC的三等分点    
∴F(30，10)  
（3）y＝-x＋。