题目

题型：北京中考真题难度：来源：

问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA，探究∠DBC与∠ABC度数的比值，请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。
（1）当∠BAC= 90°时，依问题中的条件补全下图，观察图形，AB与AC的数量关系为____；
当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为____；
可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为：____；
（2）当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。

答案

解：（1）如图（1），相等15°；1/3； （2）猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中结论相同，
证明：如图（2），作∠KCA= ∠BAC，
过B点作BK//AC交CK于点K，连接DK，
∵∠BAC≠90°，
∴四边形ABKC是等腰梯形，
∴CK=AB，
∵DC=DA，
 ∴∠DCA=∠DAC，
∵∠KCA=∠BAC，
∴∠KCD=∠3，
∴△KCD≌△BAD，
∴∠2=∠4，KD= BD，
∴KD=BD=BA=KC，
∵BK//AC，
∴∠ACB=∠6，
∵∠KCA=2∠ACB，
∴∠5=∠ACB，
∴∠5=∠6，
∴KC=KB，
∴KD=BD=KB，
∴∠KBD=60°，
∵∠ACB=∠6=60°- ∠l，
∴∠BAC=2∠ACB=120°-2∠1，
∵∠l+（60°-∠l）+（120°-2∠1）+∠2 =180°，
∴∠2=2∠1，
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1/3。