题目

题型：陕西省期末题难度：来源：

在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A佀B佀C向终点C运动，连接DM交AC于点N.（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN：
①求证：△ABN≌△ADN；
②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求点M到AD的距离及tanα的值．
（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≦x≦12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．

答案

解：（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠1=∠2．
又∵AN=AN，
∴△ABN≌△ADN．
②作MH?DA交DA的延长线于点H．由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°．
在Rt△AMH中，MH=AMsin60°=4?sin60°=2．
∴点M到AD的距离为2．
∴AH=2．?DH=6+2=8．
在Rt△DMH中，tan∠MDH=，
由①知，∠MDH=∠ABN=α，∴tanα=；
（2）∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形．∴∠CAD=45°．
下面分三种情形：
（Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．
此时，点M恰好与点B重合，得x=6；
（Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°．
此时，点M恰好与点C重合，得x=12；
（Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2．
∵AD∥BC，∴∠1=∠4，
又∠2=∠3，
∴∠3=∠4．∴CM=CN．
∴AC=6．
∴CM=CN=AC﹣AN=6﹣6．
故x=12﹣CM=12﹣（6﹣6）=18﹣6．
综上所述：当x=6或12或18﹣6时，△ADN是等腰三角形．