题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

（1）如图1所示，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连结FG，延长AF，AG，与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG 与△ABC的周长之间存在的数量关系是什么？即：FG=____（AB+BC+AC）（直接写出结果即可）
（2）如图2，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与ΔABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明。
（3）如图3，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与ΔABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可。不需要证明。

答案

解：（1）FG=（AB+BC+AC）；（2）FG=（AB+AC-BC）；
证明：延长AG交BC于N，延长AF交BC于M，
∵AF⊥BD，AG⊥CE，
∴∠AGC=∠CGN=90°，∠AFB=∠BFM=90°，
在RtΔAGC和RtΔCGN中，
∠AGC=∠CGN=90°，CG=CG，∠ACG=∠NCG，
∴RtΔAGC≌RtΔCGN，
∴AC=CN，AG=NG，
同理可证：AF=FM，AB=BM，
∴GF是ΔAMN的中位线，
∴GF=MN，
∵AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN，BC=BN+MN+CM，
∴AB+AC-BC=MN，
∴GF=MN=（AB+AC-BC）；（3）线段FG与ΔABC三边之间数量关系是：GF=（AC+BC-AB）。