题目

题型：重庆市期中题难度：来源：

如图所示，边长为2的正方形OABC如图放置在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c过点A，B，且12a+5c=0。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果点P由点A开始沿AB边以每秒2个单位的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以每秒1个单位的速度向点C移动，设移动时间为t秒。当线段PQ的长取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P，B，Q，R为顶点的四边形为平行四边形？如存在，求出点R的坐标；如不存在，请说明理由。
（3）在（2）的条件下，P、Q点在运动过程中，抛物线上是否还存在其它点R，使得以P，B， Q，R为顶点的四边形为平行四边形？如存在，求出点R的坐标；如不存在，请说明理由。

答案

解（1）由题A（0，-2），B（2，-2）



（2）由题AP=2t，BQ=t ∴BP=2-2t Rt△PBQ中

PQ²取得最小值
则PQ最小，此时
假设符合条件的点R存在　　　
①过P作PR//BQ，PR=BQ
此时R（）或将其代入抛物线解析式，
知这两个点R均不在抛物线上 ②过Q作QR//BP，QP=BP，

知点（）在抛物线上，点不在抛物线上
　　综上所述，存在符合条件的点R
　（3）由题P（2t，-2），Q（2，t-2），由于点R在抛物线上。　　　
　∴若存在以P，B，Q，R为顶点的平行四边形，只能有两种情况
　　　 ①平行四边形PRBQ　　
　此时PR//BQ，PR=BQ
∴R（2t，-2-t）将其代入抛物线解析式得：
 
此时
②PQRB，此时QR//PB，QR=PB。
∴R（4-2t，t-2） 将其代入抛物线解析式

此时R
综上所述，除（2）中的点R外，还存在点R