题目

题型：广东省中考真题难度：来源：

已知矩形纸片的长为4，宽为3，以长所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点不重合），现将沿PC翻折得到，再在边上选取适当的点D，将沿翻折，得到，使得直线重合．
（1）若点E落在边上，如图①，求点的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；
（2）若点E落在矩形纸片的内部，如图②，设当x为何值时，y取得最大值？
（3）在（1）的情况下，过点三点的抛物线上是否存在点Q，使是以为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标。

答案

解：（1）由题意知，均为等腰直角三角形，
可得 
设过此三点的抛物线为
则
 ∴过三点的抛物线的函数关系式为
（2）由已知平分平分且重合，
则
又．
．

即 

∴ 当时，y有最大值
（3）假设存在，分两种情况讨论：
①当时，由题意可知，且点C在抛物线上，
故点C与点Q重合，
所求的点Q为（0，3） 
②当时，过点D作平行于PC的直线，
假设直线交抛物线于另一点Q，
∵点
∴直线的方程为，将直线向上平移2个单位与直线重合，
∴直线的方程为
由得或
又点
故该抛物线上存在两点满足条件．