题目

题型：山东省模拟题难度：来源：

如图，已知等腰Rt△AOB，其中∠AOB=90°，OA=OB=2，E、F为斜边AB上的两个动点（E比F更靠近A），满足∠EOF=45°。
（1）求证：△AOF∽△BEO；
（2）求AF×BE的值；
（3）作EM⊥OA于M，FN⊥OB于N，求OM×ON的值；
（4）求线段EF长的最小值。（提示：必要时可以参考以下公式：当x＞0，y＞0时， x+y=或x+）。

答案

解：（1）∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠AFO=∠B+∠BOF=45°+∠BOF，
又∵∠BOE=∠EOF+∠BOF=45°+∠BOF，
∴∠AFO=∠BOE，
∴△AOF∽△BEO；
（2）∵△BOE∽△AOF，
∴，
∴；
（3）作斜边AB上的高OD，并记OM=a，ON=b，
则易得ME=2-a，OD=，
由已知条件易得：
△MOE∽△DOF，
即OM·ON=2；
（4）EF=AB-AE-BF=
=，
所以，当， a=b=时，EF取得最小值。