题目

题型：重庆市模拟题难度：来源：

如图1，菱形ABOC的对角线OA、BC交于点D，∠BOC=60°，OA=，E为AC边中点，BE与OA交于点F，点P从点O（包含顶点O）开始沿OA方向以每秒个单位长度的速度运动，同时，点Q从点C（包含顶点C）出发沿CB方向以每秒1个单位长度的速度运动，当P到达点A时，P，Q同时停止运动，设运动时间为x秒。

（1）若记以P、B、E、Q为顶点的四边形面积为S，分别求出点P在线段OD（不含点D）和在线段AF（不含点F）上时，S关于x的函数关系式，并写出相应的自变量x的取值范围；
（2）若以P、B、E、Q为顶点的四边形是梯形，求x的值；
（3）如图2，若点M、N分别在菱形的边OC、AC上，且∠MBN=60°，∠MBN在∠OBA内部绕着点B旋转的过程中，请你探究OM+AN的值是否发生变化，若不变，求出其值；若发生变化，请说明理由。

答案

解：（1）当点P在OD上时，如图1，x的取值范围为0≤x<，
过点E作EH⊥BC，则，
由OA=，∠BOC=60°，OBAC是菱形得AC=BC=2，OD=，∠ACD=60°，
在Rt△ECH中，sin∠ECH=，∴，∴，
从而有，
当点P在AF上时，如图2，x的取值范围为，
过点E作EH⊥BC，过点E作EG⊥AD，则，
在Rt△EAG中，sin∠EAG=，∴sin30°=，从而有EG=，
∴=，
综上：S=；（2）能成为梯形，分三种情况：
当PQ∥BE时，如图3，∠PQD=∠DBE=30°，
∴，
即，
∴x=，
此时PB不平行QE，
∴x=时，四边形PBEQ为梯形，
当PE∥BQ时，如图4，P为DC中点，∴AP=，即=，
此时，BQ=2-x≠，
∴x=时，四边形PEQB为梯形；
当EQ∥BP时，如图5，△QEH∽△BPD，
∴，∴，∴x=1或x=0，
此时，BQ不平行于PE，
∴x=1或x=0时，四边形PEQB为梯形，
综上所述，当或或1或0时，以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形；（3）OM+AN的值不会发生变化，理由如下：连接BC，
如图6，由∠BOC=60°，ABOC是菱形得△BOC和△ABC是等边三角形，
∴BC=BO，∠OBC=60°，∠BOM=∠BCN=60°，
又∵∠MBN=60°，
∴∠OBM=∠CBN，
∴△OBM≌△CBN，
∴OM=CN，
∴OM+AN=CN+AN=AC=2。