题目

题型：新疆自治区中考真题难度：来源：

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒得速度从A点出发，沿AC向C移动，同时，动点Q以1米/秒得速度从C点出发，沿CB向B移动。当其中有一点到达终点时，他们都停止移动，设移动的时间为t秒。
（1）①当t=2.5秒时，求△CPQ的面积；
②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数关系式；
（2）在P、Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值；
（3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，求出t的值。

答案

解：在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，
∴AC=10米，
由题意得：AP=2t，CQ=10-2t；
（1）①过点P作PD⊥BC于D，
∵t=2.5，AP=2×2.5=5，QC=2.5，
∴PD=AB=3，
∴S=×QC×PD=3.75；
②过点Q作QE⊥PC于点E，
易知Rt△QEC∽Rt△ABC，
∴，QE=
∴S=， （2）当秒（此时PC=QC），秒（此时PQ=QC），或秒（此时PQ=PC）△CPQ为等腰三角形； （3）过点P作PF⊥BC于点F，则有△PCF∽△ACB，
∴，
即
∴PF=，FC=
则在Rt△PFQ中，
当⊙P与⊙Q外切时，有PQ=PA+QC=3t，
此时
整理得：，
解得（舍去）
故⊙P与⊙Q外切时，；
当⊙P与⊙Q内切时，有PQ=PA-QC=t，
此时
整理得：，
解得
故⊙P与⊙Q内切时 或。