题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重复），过点D作直线交折线OAB于点E。
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式：
（2）当点E在线段OA上时，且tan∠DEO=，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形，试探究四边形与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不交，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由。

答案

解：（1）由题意得B（-3，1），若直线经过点A（-3，0）时，则；
若直线经过点B（-3，1）时，则；
若直线经过点C（0，1）时，则b=1，
① 若直线与折线OAB的交点E在OA边上时，即，如图1，
此时E（-2b，0），
∴；
②若直线与折线OAB的交点E在BA边上时，即，如图2，
此时E（-3，），D（-2b+1，1），
∴
=
∴S与b的函数关系式为：；
（2）如图3，设O₁A₁与CB相交于点M，OA与C₁B₁相交于点N，则矩形与矩形OABC重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积，
由题意，知DM∥NE，DM∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形，
根据轴对称知，∠MED=∠NED，又∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴四边形DNEM为菱形，
过点D作DH⊥OA，垂足为H，由题意知，
，
设菱形的边长为a，则在Rt△DHN中，由勾股定理知，
∴S_菱形DNEM=NE·DH=×1=，
则矩形与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为。