题目

题型：广东省中考真题难度：来源：

如图所示，抛物线y=（x+1）²+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）。
（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限。
①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；
②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标。

答案

解：（1）抛物线的对称轴为：直线x=-1，
∵抛物线过点C（0，-3），则，
∴k=-4；（2）如图，根据两点之间线段最短可知，当P点在线段AC上就可使PA+PC的值最小，又因为P点要在对称轴上，所以P点应为线段AC与对称轴直线x=-1的交点，
由（1）可知，抛物线的表达式为：，
令y=0，则，解得：，
则点A、B的坐标分别是A（-3，0）、B（1，0），
设直线AC的表达式为y=kx+b，
则解得：
所以直线AC的表达式为y=-x-3，
当x=-1时，，
所以，此时点P的坐标为（-1，-2）；（3）①依题意得：
当点M运动到抛物线的顶点时，△AMB的面积最大，
由抛物线表达式可知，抛物线的顶点坐标为（-1，-4），
∴点M的坐标为（-1，-4），
△AMB的最大面积，
②如图，过点M作MH⊥x轴于点H，连结AM、MC、CB，
点M在抛物线上，且在第三象限，设点M的坐标为（），
则，



当时，四边形AMCB的面积最大，最大面积为，
当时，
∴四边形AMCB的面积最大时，点M的坐标为（）。