题目

题型：广东省中考真题难度：来源：

如图，抛物线y=x²+bx+c的顶点为D（-1，-4），与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；
（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）由题意得
解得：b=2，c=-3，则解析式为：y=x^2₊2x-3；
（2）由题意结合图形，
则解析式为：y=x²+2x-3，解得x=1或x=-3，由题意点A（-3，0），
 ∴AC=，CD=，AD=，
由AC²+CD²=AD²，所以△ACD为直角三角形；
（3）由（2）知ME取最大值时ME=，E（，-），M（，-），
∴MF=，BF=OB-OF=，
设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，则BP∥MF，BF∥PM，
∴P₁（0，-）或P₂（3，-），
当P₁（0，-）时，由（1）知y=x²-2x-3=-3≠-，
∴P₁不在抛物线上，
当P₂（3，-）时，由（1）知y=x²-2x-3=0≠-，
∴P₂不在抛物线上。