题目
题型:广西自治区中考真题难度:来源:
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设抛物线的顶点为D,求四边形ABDC的面积;
(3)作直线MN平行于x轴,分别交线段AC、BC于点M、N,问在x轴上是否存在点P,使得△PMN是等腰直角三角形?如果存在,求出所有满足条件的P点的坐标;如果不存在,请说明理由。
答案
令x=0,得y=-4,
故点C的坐标为(0,-4),
令y=0,得x=-1,
故点A的坐标为(-1,0),
把A、C两点坐标代入y=x2+bx+c得
∴
解得
∴y=x2-x-4;
∴顶点为D(1,-),
∵A、B两点关于对称轴x=1对称,
∴点B的坐标为(3,0),
设直线DC交x轴于点E,
如图1,
由D(1,-)C (0,-4),
易求直线CD的解析式为y=-x-4易求E(-3,0),
S四边形ABDC=S△EDB-S△ECA=12;
图1
∵MN∥x轴,
∴△CMN∽△CAB,
∴
(a)当MP=MN或NP=MN时,
设MN=a,
如图2
即,
∴a=2,
① 当∠PMN=90°时,
∵MP∥OC,
∴△AMP∽△ACO
∴,
即,
∴OP=0.5,
∴P1的坐标为(-0.5,0),
② 当∠PNM=90°时,
∵NP∥OC,
∴△BNP∽△BCO,
∴,
即,
∴OP=1.5,
∴P2的坐标为(1.5,0)
(b)当∠MPN=90°,PM=PN时,
如图3,
过点P作PQ⊥MN,垂足为Q,
则PQ=QM=QN,
设PQ=d,则QM=QN=d,MN=2d
则=(已证)即
d=,
过点N作NG⊥x轴,垂足为G,
则PQ=GN=QN=PG=
∴NG∥OC,
∴△BNG∽△BCO
∴,
即,
∴BG=1,
∴OP=OB-BG-PG=3-1-,
∴P3的坐标为(,0),
综上(a)、(b),存在满足条件的点P有3个,坐标分别是 P1(-0.5,0)、P2(1.5,0)、P3(,0)。
图3
图3
核心考点
试题【如图,一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点,抛物线y=x2+bx+c的图象经过A、C两点,且与x轴交于点B。(1)求抛物线的函数表达式;(】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式;
(2)若点P在第四象限,连接AM、BM,当线段PM最长时,求△ABM的面积;
(3)是否存在这样的点P,使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由。
B.
C.
D.
(1)求CD的长;
(2)若点P以1cm/s速度运动,点Q以2cm/s的速度运动,连接BQ、PQ,设△BQP面积为S(cm2),点P、Q运动的时间为t(s),求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)若点P的速度仍是1cm/s,点Q的速度为acm/s,要使在运动过程中出现PQ∥DC,请你直接写出a的取值范围。
(2) 在x轴上有一点P(t,0),若PQ∥CM,试用x的代数式表示t;
(3)在抛物线上是否存在点Q,使得△BAQ的面积是△BMC的面积的2倍?若存在,求此时点Q的坐标。
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