题目

题型：重庆市中考真题难度：来源：

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y 轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA 于点E。
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与 y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点 G，如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M 的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点 C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD，
∵AB∥OC，
∴∠ADO=∠COD，
∴∠ADO=∠AOD，
∴AD=AO=2，
∴点D的坐标为（2，2），
∵OA=2，OC=3，
∴BD=1，
∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠BDC=90°，
∴∠ADE=∠BCD，
∵∠DAE=∠CBD=90°，AD=BC=2，
∴△ADE∽△BCD，
∴AE=BD=1，
∴点E的坐标为（0，1），
∵OC=3，
∴点C的坐标为（3，0），
设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
将E、D、C三点坐标代入，得，解得，
∴；
（2）EF=2OG成立，
证明：把代入得，
∴点M的坐标为，
设直线DM的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，解得，
∴，
当x=0时，y=3，
∴点F的坐标为（0，3），
∴EF=2，
作DH⊥OC于H，
∵DH=AD，∠GHD=∠FAD=90°，∠GDH=∠FDA，
∴△FAD≌△GHD，
∴GH=AF=1，
∴DG=1，
∴EF=2OG；
（3）存在；
∵OG=1，
∴CG=2，
①当PG=CG=2时，PG⊥OC，
∴点P的坐标为（1，2），
∴把x=1代入得，
∴点Q的坐标为；
②当PC=CG时，PC⊥OC，
∴点P就是点B，坐标为（3，2），
设直线BG的解析式为y=kx+b（k≠0），得出，解得，
∴y=x-1，
∵点Q是直线BG与抛物线的交点，
∴，
解得或，
又∵点Q在第一象限，
∴点Q的坐标为；
③当PG=PC时，点P在CG的垂直平分线上，
∴点P就是点D，点D也是点Q，坐标为（2，2），
∴综上所述，点Q的坐标为或或（2，2）。