题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，抛物线y=ax²+bx-3与x 轴交于A，B两点，与y轴交于C 点，且经过点（2，-3a），对称轴是直线x=1，顶点是M；
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线y=-x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆 交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由；
（4）当B是直线y=-x+3上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）

答案

解：（1）根据题意，得
解得
∴抛物线对应的函数表达式为y=x²-2x-3； （2）存在，
在y=x²-2x-3中，令x=0，得y=-3，
令y=0，得x²-2x-3=0，
∴x₁=-1，x₂=3，
∴顶点M（1，-4），
容易求得直线CM的表达式是y=-x-3，
在y=-x-3中，令y=0，得x=-3，
∴N（-3，0），
∴AN=2，
在y=x²-2x-3中，令y=-3，得x₁=0，x₂=2，
∴CP=2，
∴AN=CP，
∴四边形ANCP为平行四边形，
此时P（2，-3）； （3）△AEF是等腰直角三角形，
理由：在y=-x+3中，令x=0，得y=3，令y=0，得x=3，
∴直线y=-x+3与坐标轴的交点是D（0，3），B（3，0），
∴OD=OB，
∴∠OBD=45°，
又∵点C（0，-3），
∴OB=OC，
∴∠OBC=45°，
由图知∠AEF=∠ABF=45°，∠AFE=∠ABE=45°，
∴∠EAF=90°，且AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形； （4）当点E是直线y=-x+3上任意一点时，（3）中的结论成立。