题目

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，∠BAD+∠CDA=90°，且tan∠BAD=2，AD在x轴上，点A的坐标（-1，0），点B在y轴的正半轴上，BC=OB。
（1）求过点A、B、C的抛物线的解析式；
（2）动点E从点B（不包括点B）出发，沿BC运动到点C停止，在运动过程中，过点E作EF⊥AD于点F，将四边形ABEF沿直线EF折叠，得到四边形A₁B₁EF，点A、B的对应点分别是点A₁、B₁，设四边形A₁B₁EF与梯形ABCD重合部分的面积为S，F点的坐标是（x，0）。
①当点A₁落在（1）中的抛物线上时，求S的值；
②在点E运动过程中，求S与x的函数关系式。

答案

解：（1）△ABO中∠AOB=90°tanA==2，
∵点A坐标是（-1，0），
∴OB=2，
∴点B的坐标是（0，2），
∵BC∥AD，BC=OB，
∴点C的坐标是（2，2），
设抛物线表达式为y=ax2+bx+2，
∵点A（-1，0）和点C（2，2）在抛物线上，
∴　
∴解得
∴y=-； （2）①当点A₁落在抛物线上，根据抛物线的轴对称性可得A₁与点A关于对称轴对称，由沿直线EF折叠，所以点E是BC中点，重合部分面积就是梯形ABEF的面积，
∴S=S_梯形ABEF=（BE+AF）×BO=2x+1；
②当0＜x≤1时，重合部分面积就梯形ABEF的面积，
由题得AF=x+1，BE=x，
S=S_梯形ABEF=（BE+AF）×BO=2x+1，
当1＜x≤2时，重合部分面积就是五边形形A₁NCEF的面积，
设A₁B₁交CD于点N，作MN⊥DF于点N，CK⊥AD于点K，
△NMA₁∽△DMN，
，
∵∠BAO=∠MA₁N，tan∠BAO=2，
∴tan∠MA₁N=2，
∴MA₁=MN，MD=2MN，
∵tan∠BAO=2，∠BAO+∠CDK=90°，
∴tan∠CDK=，
在△DCK中，∠CKD=90°，CK=OB=2，tan∠CDK=，
∴DK=4，OD=6，
∵OF=x，A₁F=x+1，
∴A₁D=OD-OF-A1F=5-2x，FD=6-x，
∴MN=（5-2x），
∴S=S_梯形DCEF-