题目

题型：重庆市中考真题难度：来源：

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA予点E。
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G，如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）由已知，得C（3，0），D（2，2），
∵∠ADE=90°-∠CDB=∠BCD，
∴AE=AD·tan∠ADE=2×tan∠BCD=2×=1
∴E（0，1）
设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
将点E的坐标代入，得c=1，
将c=1和点D、C的坐标分别代入，得
，解这个方程组，得，
故抛物线的解析式为y=；
（2）EF=2GO成立，
∵点M在该抛物线上，且它的横坐标为，
∴点M的纵坐标为，
设DM的解析式为y=kx+b₁（k≠0），
将点D、M的坐标分别代入，得
，解得，
∴DM的解析式为y=-x+3，
∴F（0，3），EF=2，
如图甲，过点D作DK⊥OC于点K，则DA=DK，
∵∠ADK=∠FDG=90°，
∴∠FDA=∠GDK，
又∵∠FAD=∠GKD=90°，
∴△DAF≌△DKG，
∴KG=AF=1，
∴CO=1，
∴EF=2GO；
（3）∵点P在AB上，G（1，0），C（3，0），则设P（t，2），
∴PG²=（t-1）²+2²，PC²=（3-t）²+2²，GC=2，
①若PG=PC，则（t-1）²+2²=（3-t）²+2²，解得t=2，
∴P（2，2），此时点Q与点P重合，
∴Q（2，2）；
②若PG=GC，则（t-1）²+2²=2²，解得t=1，
∴P（1，2），此时GP⊥x轴，CP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，
∴点Q的纵坐标为，
∴Q（1，）；
③若PC=GC，则（3-t）²+2²=2²，解得t=3，
∴P（3，2），此时 PC=GC=2，△PCG是等腰直角三角形，
如图乙，过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH=GH，设QH=h，
∴Q（h+1，h），
∴（h+1）²+（h+1）+1=h，解得h₁=，h₂=-2（舍去），
∴，
综上所述，存在三个满足条件的点Q，即Q（2，2）或Q或。