题目

题型：广东省中考真题难度：来源：

如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCD（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0，6）；将BCD沿BD折叠（D点在OC边上），使C点落在OA边的E点上，并将BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD的点F上。
（1）直接写出∠ABE、∠CBD的度数，并求折痕BD所在直线的函数解析式；
（2）过F点作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线经过B、H、D三点，求抛物线的函数解析式；
（3）若点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PN⊥BC分别交BC和BD于点N、M，设h=PM-MN，试求出h与P点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PM<MN、PM=MN、PM>MN成立的x的取值范围。

答案

解：（1）∠ABE=∠CBD=30°；
在△ABE中，AB=6，BC=BE=，CD=BC·tan30°=4，
∴OD=OC-CD=2，
∴B（，6） D（0，2），
设BD所在直线的函数解析式是y=kx+b，
，∴，
∴ 所以BD所在直线的函数解析式是；
（2）∵EF=EA=ABtan30°=，∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°，
又∵FG⊥OA，
∴FG=EFsin60°=3，GE=EFcos60°=，OG=OA-AE-GE=，
又H为FG中点
∴H（，），
∵B（4，6）、D（0，2）、H（，）在抛物线图象上，
∴，∴，
∴抛物线的解析式是；
（3）∵MP=，
MN=6-，
h=MP-MN=，
由得，
该函数简图“略”
当0<x<，h<0，即HP>MN ，
当x=时，h=0，即HP=MN，
当<x<时，h>0，即HP>MN。