题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°。
（1）直接写出D点的坐标；
（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；
（3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△A′EF，求△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积。
                                                 备用图

答案

解：（1）D点的坐标是；（2）连结OD，如图（1），由结论（1）知：D在∠COA的平分线上，
则∠DOE=∠COD=45°，
又在梯形DOAB中，∠BAO=45°，
∴OD=AB=3
由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°，
又∠2=∠DEA-45°，
∴∠1=∠2，
∴△ODE∽△AEF，
∴，
即：
∴y与x的解析式为：；

图1

（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况，
①当EF=AF时，如图（2），
∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°，
∴△AEF为等腰直角三角形，D在A′E上（A′E⊥OA），B在A′F上（A′F⊥EF），
∴△A′EF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积，
∵，
∴
，
∴，
∴（也可用），
②当EF=AE时，如图（3），
此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积，
∠DEF=∠EFA=45° ，
DE∥AB ，
又DB∥EA，
∴四边形DEAB是平行四边形，
∴AE=DB=，
∴
，
③当AF=AE时，如图（4），
四边形AEA′F为菱形且△A′EF在五边形OEFBC内，
∴此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积，
由（2）知△ODE∽△AEF，则OD=OE=3，
∴AE=AF=OA-OE=，
过F作FH⊥AE于H，则

∴
综上所述，△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为或1或。

图2

图3

图4