题目

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，B（-1，0），C、D两点在抛物线y=x²+bx+c上。
（1）求此抛物线的表达式；
（2）正方形ABCD沿射线CB以每秒个单位长度平移，1秒后停止，此时B点运动到B₁点，试判断B₁点是否在抛物线上，并说明理由；
（3）正方形ABCD沿射线BC平移，得到正方形A₂B₂C₂D₂，A₂点在x轴正半轴上，求正方形ABCD的平移距离。

答案

解：（1）如图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，
∵正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠AOB=90°，
即∠1+∠ABO=∠2+∠ABO=90°，
∴∠1=∠2，
在Rt△BCE和Rt△ABO中，
∵∠1=∠2，BC=AB，∠CEB=∠BOA=90°，
∴Rt△BCE≌Rt△ABO，
∴CE=BO，BE=AO，
∵B（-1，0），
∴BO=1，
∵AB=，
∴在Rt△ABO中，由勾股定理，得AO==2，
∴CE=1，BE=2，
∴OE=BE-BO=1，
∴C（1，-1），
同理可得△ADF≌△ABO，
∴DF=AO=2，AF=BO=1，
∴OF=AO-AF=2-1=1，
∴D（2，1），
将C（1，-1）、D（2，1）分别代入y=x²+bx+c中，
可得
解得
∴此抛物线的表达式为y=x²+x-2；（2）点B₁在抛物线上，
理由：根据题意，得1秒后点B移动的长度为×1=，则BB₁=，
如图，过点B₁作B₁N⊥x轴于点N，
在Rt△ABO与Rt△BNB₁中，
∵∠AOB=∠BNB₁=90°，∠2=∠B₁BN=90°-∠ABO，AB=B₁B，
∴Rt△ABO≌Rt△BB₁N，
∴B₁N=BO=1，NB=AO=2，
∴NO=NB+BO=2+1=3，
∴B₁（-3，1），
将点B₁（-3，1）代入中，可得点B₁（-3，1）在抛物线上；（3）如图，设正方形ABCD沿射线BC平移后的图形为正方形A₂B₂C₂D₂，
∵∠1=∠2，∠BB₂A₂=∠AOB，
∴△A₂BB₂∽△BAO，
∴
∵AO=2，BO=1，A₂B₂=，
即，
∴BB₂=2，
∴正方形ABCD平移的距离为2。