题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

已知，如图，过点E（0，-1）作平行于x轴的直线l，抛物线y=x²上的两点A、B的横坐标分别为-1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF。
（1）求点A、B、F的坐标；
（2）求证：CF⊥DF；
（3）点P是抛物线y=x²对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q，是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）如图，当时，
当时，
∴，
设直线AB的解析式为
则
解得
∴直线AB的解析式为
当时，
∴。（2）在中，
∴
∴
在中，
∴
∴
由（1）得
∴
∴
∴
∴
∴。（3）如图，作轴，垂足为点M
又∵
∴
∴
∴
设
则
①当时

∴
解得
∴
②当时，

∴
解得：
∴
综上，存在点、使得与相似。