题目
题型:四川省中考真题难度:来源:
(1)若△AOB的外接圆与y轴交 于点D,求D点坐标;
(2)若点C的坐标为(-1,0),试猜想过D、C的直线与△AOB的外接圆的位置关系,并加以说明;
(3)二次函数的图象经过点O和 A且顶点在圆上,求此函数的解析式。
答案
解:(1)连结AD,
∵∠ABO=60°,
∴∠ADO=60°
由点A的坐标为(3,0)得OA=3,
∵在Rt△ADO中有 cot∠ADO=,
∴OD=OA·cot∠ADO=3·cot60°=3×=
∴点D的坐标为(0,);
(2)DC与△AOB的外接圆相切于点D,理由如下:
由(1)得OD=,OA=3,
∴,
又∵C点坐标是(-1,0),
∴OC=1,
∴,
∵AC=OA+OC=3+1=4,
∴CD2+AD2=22+(2)2=42=AC2,
∴∠ADC=90°,
即AD⊥DC,
由∠AOD=90°得AD为圆的直径,
∴DC与△AOB的外接圆相切于点D,
(说明:也可用解直角三角形或相似三角形等知识求解)
(3)由二次函数图象过点O(0,0)和A(3,0),
可设它的解析式为 y=ax(x-3)(a≠0),
如图,作线段OA的中垂线交△AOB的外接圆于E、F两点,交AD于M点,交OA于N点,
由抛物线的对称性及它的顶点在圆上可知,抛物线的顶点就是点E或F,
∵EF垂直平分OA,
∴EF是圆的直径,
又∵AD是圆的直径,
∴EF与AD的交点M是圆的圆心,
由(1)、(2)得OA=3,AD=2,
∴AN=OA=,AM=FM=EM=AD=,
∴,
∴FN=FM-MN==,EN=EM+MN=+=,
∴点E的坐标是(,),点F的坐标是(,-),
当点E为抛物线顶点时,有(-3)a=,
a=,
∴y=x(x-3),
即y=x2+2x,
当点F为抛物线顶点时,有(-3)a=-,
a=,
∴y=x(x-3),
即y=x2x,
故二次函数的解析式为y=x2+2x或y=x2x。
核心考点
试题【如图,将△AOB置于平面直角坐标系中,其中点O为坐标原点,点A的坐标为(3,0),∠ABO=60°。(1)若△AOB的外接圆与y轴交 于点D,求D点坐标;(2)】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求C1的坐标;
(2)求经过三点O,C1,C的抛物线的解析式;
(3)若⊙P的半径为R,圆心P在(2)的抛物线上运动,⊙P与两坐标轴都相切时,求⊙P半径R的值。
(2)现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户,窗户的底边在AB上,每扇窗户宽1.5m,高1.6m,相邻窗户之间的间距均为0.8m,左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m,请计算最多可安装几扇这样的窗户?
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是AC延长线上一点,∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D,连结BD,求直线BD的解析式;
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使得∠PDB=∠CBD?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由。
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