题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图所示，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
又∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OCA=∠OBC，
又∵∠AOC= ∠COB=90°，
∴ΔAOC∽ ΔCOB，
∴，
又∵A（-1，0），B（9，0），
∴，
解得OC=3（负值舍去），
∴C（0，-3），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-9），
∴-3=a（0+1）（0-9），
解得a=，
∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x-9），即y=x²-x-3；
（2）∵AB为O′的直径，且A（-1，0），B（9，0），
∴OO′=4，O′（4，0）， 
∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，
∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°，
连结O′D交BC于点M，则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5，
∴D（4，-5），
∴设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0）
∴ 
解得
∴直线BD的解析式为y=x-9；
（3）假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，
设射线DP交⊙O′于点Q，则，
分两种情况（如答案图1所示）：
①∵O′（4，0），D（4，-5），B（9，0），C（0，-3），
∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q₁重合，
因此，点Q₁（7，-4）符合，
∵D（4，-5），Q₁（7，-4），
∴用待定系数法可求出直线DQ₁解析式为y=x-，
解方程组得
∴点P₁坐标为（），
[坐标为（）不符合题意，舍去]，
②∵Q₁（7，-4），
∴点Q₁关于x轴对称的点的坐标为Q₂（7，4）也符合，
∵D（4，-5），Q₂（7，4），
∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x-17，
解方程组得
∴点P₂坐标为（14，25），
[坐标为（3，-8）不符合题意，舍去]，
∴符合条件的点P有两个：P₁（），P₂（14，25）。