题目

题型：海南省中考真题难度：来源：

如图，直线y=-x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点B（-1，0）。

（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；
（3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动，设D、E同时从点O出发t秒时，△ODE的面积为S。
①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
③设S₀是②中函数S的最大值，那么S₀=（    ）。

答案

解：令x=0，则y=4，令y=0，则x=3，
∴A（3，0），C（0，4），
∵二次函数的图象过点C（0，4），
∴可设二次函数的关系式为y=ax²+bx+4，
又∵该函数图象过点A（3，0），B（-1，0），
∴，解之，得a=-，b=，
∴所求二次函数的关系式为；
（2）∵=，
∴顶点M的坐标为（1，），
过点M作MF⊥x轴于F，
∴S_{四边形AOCM}=S_△AFM+S_梯形FOCM
=，
∴四边形AOCM的面积为10；
（3）①不存在DE∥OC，
∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，
此时1＜t＜2，
在Rt△AOC中，AC=5，
设点E的坐标为（x₁，y₁），
∴，
∴，
∵DE∥OC，
∴，
∴t=，
∵t=＞2，不满足1＜t＜2，
∴不存在DE∥OC；
②根据题意得D，E两点相遇的时间为（秒），
现分情况讨论如下：
（ⅰ）当0＜t≤1时，；
（ⅱ）当1＜t≤2时，设点E的坐标为（x₂，y₂），
∴，
∴，
∴；
（ⅲ）当2＜t＜时，设点E的坐标为（x₃，y₃），
类似ⅱ可得，设点D的坐标为（x₄，y₄），
∴，
∴，
∴S=S_△AOE-S_△AOD
==
③。