题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图所示的直角坐标系中，若△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=8，D为斜边BC的中点，点P由点A出发沿线段AB作匀速运动，P′是P关于AD的对称点；点Q由点D出发沿射线DC方向作匀速运动，且满足四边形QDPP′是平行四边形，设平行四边形QDPP′的面积为y，DQ=x。
（1）求出y关于x的函数解析式；
（2）求当y取最大值时，过点P，A，P′的二次函数解析式；
（3）能否在（2）中所求的二次函数图象上找一点E使△EPP′的面积为20？若存在，求出E点坐标；若不存在，说明理由。

答案

解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=8，
∴BC=16
∵D为斜边BC的中点，
∴AD=BD=DC=8，
∵四边形为平行四边形，DQ=x，
∴，
故DF=AD-AF=x
则平行四边形的面积；
（2）当x=8时，y取最大值，此时Q点运动到C点，P点运动到AB的中点，则点A、P、P′的坐标分别为（0，8）、（-4，4）、（4，4），
设过上述三点的二次函数解析式为，
代入P点坐标有；
（3）假设在的图象上存在一点E，使，
设E的坐标为（x，y）， 则，
即|y-4|=5，可得y=9、-1，代入解析式可得E点坐标为。