题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点C在以D（-2，-2）为圆心，4为半径的圆上，且经过⊙D与x轴的两个交点A、B，连接AC、BC、OC。
（1）求点C的坐标；
（2）求图中阴影部分的面积；
（3）在抛物线上是否存在点P，使DP所在直线平分线段OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）如图，作CH⊥x轴，垂足为H，
∵直线CH为抛物线对称轴，
∴CH垂直平分AB，
∴CH必经过圆心D（-2，-2）
∵DC=4，
∴CH=6
∴C点的坐标为（-2，-6）。
（2）连接AD
在Rt△ADH中，AD=4，DH=2，
∴∠HAD=30°，
∴
∴

∴阴影部分的面积。
（3）又∵
H点坐标为（-2，0），H为AB的中点，
∴A点坐标为（-2-2，0），B点坐标为（2-2，0）
又∵抛物线顶点C的坐标为（-2，-6），
设抛物线解析式为y=a（x+2）²-6
∵B（，0）在抛物线上
∴，解得
∴抛物线的解析式为
设OC的中点为E，过E作EF⊥x轴，垂足为F，连接DE，
∵CH⊥x轴，EF⊥x轴，
∴CH∥EF
∵E为OC的中点，
∴
即点E的坐标为（-1，-3）。
设直线DE的解析式为
∴，解得
∴直线DE的解析式为y=-x-4
若存在P点满足已知条件，则P点必在直线DE和抛物线上
设点P的坐标为（m，n），
∴n=-m-4，即点P坐标为（m，-m-4），
∴
解这个方程，得，
∴点P的坐标为（0，-4）和（-6，2）。
故在抛物线上存在点P，使DP所在直线平分线段OC。